五年级下册数学知识
班级：五（1）班 姓名： .
第一部分 图形与几何
一、观察物体
1、从不同的位置（或同一位置）观察物体，看到的形状可能相同也可能不同；从同一位置观察长方体或正方体时不能看到所有的面，最多只能看到三个面，最少看到一个面。
2、正面、侧面（左面，右面）、后面都是相对的，它是随着观察角度的变化而变化。能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。
3、观察物体，先要确定观察的位置（方向）（常选择上面、正面、左面、右面），再确定观察的形状，并把它画下来，在平面图形画上斜线。
4、根据各个位置看到的平面图形推算共有几个小正方体方法：从正面看数层数，从上往下数；从上面看数列数，从左往右数；从左面看数排数，前排在右后排在左，从右往左数。
5、至少用8个正方体可拼成较大的正方体，27个64个125个……都可拼成较大正方体。
6求几个正方体摆成形体的表面积，先算出形体正面、右面和上面看到面的个数，再利用形体的对称性求出表面的正方形面的总个数。
二、图形的运动
图形变换的基本方式是平移、轴对称和旋转。
（一）图形的平移
1、平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
2、平移的三要素：原图形的位置、平移的方向、平移的距离。平移的方向一般为：水平方向（向左或向右平移）、垂直方向（向上或向下平移）两种。平移的距离：一般为几个单位长度（也即几个方格）
3、平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。
4、把图形平移的步骤：
（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。
（2）找出原图形的各关键点。
（3）根据题目要求将各个点依次平移。
（4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称。
（二）轴对称图形
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
（1）学过的轴对称平面图形有：圆形、长方形、正方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。
（2）对称点到对称轴的距离相等。
（3）轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小、形状完全相同，方向相反。
（三）图形的旋转
物体或图形围绕一个定点沿着一个方向转动一定的角度的现象叫做旋转。定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）旋转三要素：①旋转中心，固定不变；②旋转方向有顺时针、逆时针；③旋转角度。
（2）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（3）长方形绕中心点旋转180度与原来重合，正方形绕中心点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
（4）旋转的性质：
①图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动。
②其中对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后图形的大小和形状没有改变，位置和方向发生改变，旋转中心是唯一不动的点。
③两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角度相等，都等于旋转角。
（5）怎样画图形旋转的形状：①先观察原图形的形状特征找准关键点，②找准旋转中心、旋转方向、旋转角度；③使用直角三角板画出对应边；④确定各对应边的长度；⑤将每个对应点连接并标出名称。
三、长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（长宽高是相对而言的，随观察角度而定）
长方体特点：
（1）长方体有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面完全相同，相对的面面积相等，相对的棱长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。（3）正方体可以看做长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
4、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2＋长×宽
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=6a2
【生活实际】油箱、罐头盒等都是6个面，游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面。
【注意】把一个长方体（或正方体）分成两个小长方体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加），把两个完全一样的长方体拼成一个大长方体，有三种拼法，每种拼法都减少两个面。
【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a×a×a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积（占地面积）。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=Sh
（换个角度看，横截面积相当于底面积，长相当于高）。
【注意】一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
计量容积一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
（1 L = 1 dm3 1 mL = 1 cm3 1 L= 1000mL）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）
【注意】长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 = S×h升高
【注意】1㎝、1cm2、1cm3它们是三个不同的计量单位，所以不能进行比较。
8、单位的换算：
1.方法：
①高级单位化成低级单位的方法：高级单位的数×进率＝低级单位的数。 ②低级单位化成高级单位的方法：低级单位的数÷进率＝高级单位的数。
2.进率：
（1）体积单位间的进率
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米
1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
（2）面积单位间的进率：
1平方千米＝1000000平方米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方分米＝100平方厘米
1平方千米=100公顷
1公顷＝10000平方米
（3）长度单位间的进率：
1千米 =1000 米 1米＝10分米
1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米
1米=100厘米
（4）质量单位间的进率：
1吨=1000千克 1千克=1000克
（5）人民币间的进率：
1元=10角 1角=10分 1元=100分
（6）时间单位间的进率：
1天=24时 1时=60分 1分=60秒
【注意】长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
第二部分数与代数
一、因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数和负数。 最小的自然数是0.
2、因数、倍数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷6＝2，我们就说12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。一个数的最小倍数和最大因数是它本身。
（4）2、3、5的倍数特征
①个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
②一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
③个位上是0或5的数，是5的倍数。
④能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最小两位数是30，最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
⑤如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
4：自然数按能不能被2整除来分：分为奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系： 奇数+偶数=奇数 奇数﹣偶数=奇数
奇数+奇数=偶数 奇数﹣奇数=偶数
偶数+偶数=偶数 偶数﹣偶数=偶数
奇数×偶数=偶数 奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
0：
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
关系 质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是1；A的最大因数是A；A的最小倍数是A；
最小的奇数是1；最小的偶数是0；最小的质数是2；最小的自然数是0；最小的合数是4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公倍数是最小公倍数的倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、 求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘一次）
最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 （相同乘一次× 不同分别乘）
3、求法三：短除法
用短除法求下列各组数的最大公因数。①12和18 ②34和102 ③ 12、24和36
想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。最小公倍数就是所有公因数连乘再乘最后的商。
二、 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一个计量单位或一些物体等都可以看作一个整体。把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。
4、分数与除法
被除数÷除数=，用字母表示A÷B=（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0）
5、真分数和假分数、带分数
①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
②假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
③带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，（2）整数化为假分数，用整数乘分母得分子
（3）带分数化为假分数，用整数乘分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。
【注意】分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000…….
方法二：用分子÷分母 ，除不尽的按要求取近似数。
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数 。
12、比分数的大小：
分母相同，分子大的大，分子小的小；
分子相同，分母小的大，分母大的小。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、常用的分数化小数
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8 =0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.1
=0.3 =0.7 =0.9 =0.0625 =0.05 =0.04。
三、分数的加法和减法
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
3、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
a+b=b+a a+b+c=a+（b+c）
3、减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c= a+c –b（等式左右可以交换的）
4、常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 24×5＝120 125×8＝1000
第三部分 统计与概率
1、众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
2、中位数：
（1）按大小排列；
（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；
（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。
3、平均数的求法：总数÷总份数=平均数
4、一组数据的一般水平：
（1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般水平。
（2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。
（3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。
4、平均数、中位数和众数的联系与区别:
① 平均数：
一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。
② 中位数：
将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。
它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。
③ 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。它不受极端数据的影响，表示一组数据的集中情况。
5、统计图：我们学过——条形统计图、复式折线统计图。
条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能比较出数量的增减变化情况。
复式折线统计图不仅能表示出几组数据数量的多少和数量的增减变化，而且可以比较几组数据的变化趋势。
【注意】
① 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数据）。
②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
6、 打电话：
规律——人人不闲着，每人都在传。
（1）逐个法：所需时间最多。
（2）分组法：相对节约时间。
（3）同时进行法：最节约时间。
所有接到通知的学生总数与通知所用的时间的关系：
所有接到通知的学生总数为1人 通知所用的时间为1分钟
所有接到通知的学生总数为2～3人 通知所用的时间为2分钟
所有接到通知的学生总数为4～7人 通知所用的时间为3分钟
所有接到通知的学生总数为8～15人 通知所用的时间为4分钟
所有接到通知的学生总数为16～31人 通知所用的时间为5分钟
所有接到通知的学生总数为32～63人 通知所用的时间为6分钟
所有接到通知的学生总数为64～127人 通知所用的时间为7分钟
第四部分 综合与实践
一、用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），使得最多的与最少的相差1，这样才能保证找出次品而且称的次数一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：
2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次
二、特殊问题：
1、握手、开锁问题方法1:1+2+3+4+…( n-1)=总次数；方法2：n×(n-1) ÷2=总次数；
2、数角、线段总个数1+2+3+4+…n=总个数（n表示小的角数或短的段数）。
3.服装搭配问题：假如a件衣服b件裤子搭配共有a×b=a b种搭配法。
【补充知识】
小学数学平面图形周长、面积计算公式
1.正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长×4 字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长×边长 字母表示为：S=a×a
2.长方形（a表示长，b表示宽，C表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）×2 字母表示为： C=（a+b）×2
长方形的面积=长×宽 字母表示为：S=a×b
3.三角形（s表示面积a表示底h表示高）
三角形的面积=底×高÷2 字母表示为：s=a×h÷2
三角形的高=面积×2÷底 字母表示为：h = s×2÷a
三角形的底=面积×2÷高 字母表示为：a = s×2÷h
4.平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积=底×高 字母表示为：S= a×h
平行四边形的高=面积÷底 字母表示为：h= s÷a
平行四边形的底=面积÷高 字母表示为：a= s÷h
5.梯形（s表示面积，a表示上底，b表示下底，h表示高。）
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 字母表示为：s=(a+b)×h÷2
梯形的（上底+下底) =面积×2÷高 字母表示为：a+b = s×2÷h
梯形的高=面积×2÷（上底+下底) 字母表示为：h = s×2÷（a+b）
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